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Fórmula, ecuaciones y cálculos del filtro Butterworth

Fórmula, ecuaciones y cálculos del filtro Butterworth


El filtro Butterworth es una forma popular de filtro que proporciona una respuesta en banda máximamente plana. Si bien el método más común para calcular los valores en estos días es usar una aplicación u otro software de computadora, aún es posible calcularlos usando métodos más tradicionales. Hay fórmulas o ecuaciones que se pueden utilizar para estos cálculos y de esta manera es posible comprender las compensaciones y el funcionamiento más fácilmente.

Usando las ecuaciones para el filtro de Butterworth, es relativamente fácil calcular y trazar la respuesta de frecuencia, así como calcular los valores necesarios.

Respuesta de frecuencia del filtro Butterworth

Como el filtro Butterworth es plano al máximo, esto significa que está diseñado de modo que a frecuencia cero, las primeras derivadas 2n-1 de la función de potencia con respecto a la frecuencia sean cero.

Por tanto, es posible derivar la fórmula para la respuesta de frecuencia del filtro de Butterworth:

|VfueraVen|2=11 +(FFC)2norte

Dónde:
f = frecuencia a la que se realiza el cálculo
FC = la frecuencia de corte, es decir, media potencia o frecuencia de -3dB
Vin = voltaje de entrada
Vout = voltaje de salida
n = número de elementos en el filtro

La ecuación se puede reescribir para darle su formato más habitual. Aquí H (jω) es la función de transferencia y se supone que el filtro no tiene ganancia, es decir, no es un filtro activo.

|H(jω)|=11+(ωωC)2norte

Dónde:
H (jω) = función de transferencia a frecuencia angular ω
ω = frecuencia angular y es igual a 2πf
ωC = frecuencia de corte expresada como un valor angular y es igual a 2πfC

Nota: No importa si ω / ωo o f / fC se utiliza ya que es puramente una relación de las dos cifras. Si se usa ω que es 2πf, entonces el factor 2π se cancela ya que está tanto en la parte superior como en la inferior de la fracción.

Cuando desee expresar la pérdida del filtro Butterworth en cualquier momento, se puede utilizar la fórmula de Butterworth a continuación. Esto da la atenuación en decibelios en cualquier punto.

UNAre =10Iniciar sesión10(1+(ωωC)2norte)

Ejemplo de cálculo del filtro Butterworth

Para proporcionar un ejemplo de la respuesta del cálculo del filtro de Butterworth, tome un ejemplo del circuito que se muestra a continuación. Como es normal con estos cálculos, se utilizan valores normalizados cuando la frecuencia de corte es de 1 radianes, es decir, 1/2 Hz, la impedancia es de 1 Ω y los valores se dan en faradios y henries.

El siguiente ejemplo utiliza algunos de los valores más simples, con una impedancia de 1Ω, y valores para el capacitor de 2 Faradios y los inductores en serie cada uno de 1 Henry.


Usando la fórmula anterior y sabiendo que el punto de corte es 0.159Hz, es posible calcular valores de respuesta en varias frecuencias:


Respuesta del filtro Butterworth
Frecuencia (Hz)Salida de potencia relativa
0.001.00
0.070.99
0.0950.95
0.1590.50
0.2230.117
0.2540.056
0.3180.015

Postes de filtro Butterworth

Los polos de un filtro de paso bajo Butterworth con frecuencia de corte ωc están espaciados uniformemente alrededor de la circunferencia de un semicírculo de radio ωc centrado en el origen del plano s.

Los polos de un filtro de dos polos están a ± 45 °. Los de un filtro de cuatro polos están a ± 22,5 ° y ± 67,5 °. Otros casos también se pueden deducir de manera similar.

Sin embargo, la siguiente tabla proporciona los polos de los filtros Butterworth de paso bajo con uno a ocho polos y una frecuencia de corte de 1 rad / s, es decir, para un filtro normalizado.


Polos de los polinomios de Butterworth normalizados
OrdenPolos
1−1 ± j 0
2−0.707 ± j 0.707
3−1 ± j 0, −0.5 ± j 0.866
4−0.924 ± j 0.383, −0.383 ± j 0.924
5−1 ± j 0, −0.809 ± j 0.588, −0.309 ± j 0.951
6−0.966 ± j 0.259, −0.707 ± j 0.707, −0.259 ± j 0.966
7−1 ± j 0, −0.901 ± j 0.434, −0.624 ± j 0.782, −0.222 ± j 0.975
8−0.981 ± j 0.195, −0.832 ± j 0.556, −0.556 ± j 0.832, −0.195 ± j 0.981

Estas ecuaciones básicas proporcionan la base para desarrollar un filtro LC Butterworth simple adecuado para RF y otras aplicaciones.

Ver el vídeo: Ejemplo: animacion filtros pasaaltas II orden (Octubre 2020).